CONFLICTOS

MIS CONCEPCIONES, MODELOS INTUITIVOS Y MODELOS PARÁSITOS

Últimamente la didáctica matemática se está refiriendo a temas como los conflictos, a las mis concepciones y a modelos intuitivos.

Son efectivamente tres temas muy relacionados entre ellos, que tienen relación con las imágenes mentales y los modelos.

El estudiante en el tiempo construye un concepto y se hace una imagen e este, constituyéndose estos dos conceptos concepto e imagen como intuitivos, esta imagen se refuerza en la etapa escolar a partir de:

-        Pruebas

-        Experiencias repetidas

-        Figuras

-        Ejercicios resueltos y aceptados como correctos

Sin embargo esta imagen en algún momento se revela inadecuada, con respecto al mismo concepto, creyendo el estudiante que esta imagen era definitiva.

Esta situación genera un conflicto entre la primera y la segunda imagen y el concepto, esto sucede cuando la nueva imagen amplia los limites de aplicabilidad del concepto, o da una versión más amplia.

La relación entre imagen y concepto, puede generar en algún momento un conflicto, cuando aparece otra imagen que refiere una versión ampliada, esta situación se presenta como una misconcepción.

Por lo tanto una misconcepción es un concepto errado, que sin embargo no debe verse como una situación absoluta o negativa.

No se descarta que para formar un concepto es necesario pasar por una misconcepción momentánea.

Primer Caso: Rectángulos y Irrectángulos en pie

1.       Para el estudiante de 6 a 7 años, siempre ha visto dibujado un rectángulo apoyado sobre su lado más grande y con altura vertical el lado más corto.

Se ha hecho una imagen del concepto “rectángulo” de esta manera y tal imagen ha sido siempre confirmada por la experiencia; en muchos libros, tal y como se presenta en las siguientes figuras:

2.       Un día se le propone una imagen de rectángulo que tiene la base el lado menor, siendo su altura el lado más grande, tal y como se presenta en las figuras:

3.       El niño tuvo que adecuar el concepto ya asumido, a la nueva imagen que se le presento, definiendo esta nueva forma como “rectángulo en pie”.

4.       Se reconoce en esta presentación espontanea del rectángulo que descansa sobre su lado menor, el resultado feliz de un conflicto entre una misconcepcion, de aquella imagen que parecía estable y aprendida del “rectángulo”, pero que sin embargo aun se encontraba en proceso de sistematización.

5.       El estudiante tenia formado una imagen intuitiva, pero que gracias a la adecuación didáctica con la nueva presentación del rectángulo, se genera un conflicto, ampliando su experiencia.

Segundo Caso: El Cuadrado es Rectángulo

1.     El estudiante ha visto siempre imágenes de rectángulos con lados, de longitud diferente, habiendo asumido una imagen prototipo del rectángulo una figura que debe tener base y altura de diferente longitud.

2.     Un día el maestro analiza más a fondo la definición de rectángulo, a partir del paralelogramo, definiendo que para el caso del rectángulo sus cuatro ángulos internos son todos deben ser todos rectos y por lo tanto no excluye al cuadrado.

3.      Nace así un conflicto cognitivo, entre la vieja imagen del rectángulo, que excluía al cuadrado y la nueva imagen propuesta.

4.     Sólo ahora se puede afirmar que el concepto precedente, que se pensaba, definitivo y correcto, constituía una misconcepcion, que ha sido superada por una nueva situación.

El estudiante por lo tanto busca que poner orden entre la “definición” verbal y la “figural”.

El estudiante se construye una imagen de un concepto C, él la cree estable, definitiva. Pero a un cierto punto de su historia cognitiva, recibe informaciones de C no contempladas en la imagen que tenia, debe entonces adecuar la vieja imagen a una nueva, más amplia que no solo conserve las precedentes informaciones, sino que acoja también a las nuevas. La nueva imagen es una conquista cultural, una nueva construcción más potente, más “cercana” al  concepto C.

Muchos de los conceptos de la matemática se alcanzan gracias a pasajes, en los meses o en los años, de una imagen a otra más….potente y se puede ver esta sucesión  de construcciones conceptuales como una especie de encumbramiento, de acercamiento a C.

Durante esta sucesión de imágenes, existe un momento en el cual la primera imagen, se demuestra bastante fuerte, para incluir todas las argumentaciones e informaciones nuevas con respecto al concepto C que representa.

Las nuevas solicitudes,  en lugar de obligar a destruir una imagen para construir una nueva, terminan por confirmar la bondad de la primera figura, sea una imagen justa, correcta, definitiva de C.

Por lo tanto el Modelo de un Concepto seria, entre las imágenes la definitiva, la que engloba el máximo de las informaciones y que se demuestra estable con respecto a un buen número de solicitudes ulteriores.

Existen dos posibilidades:

1.       M se forma en el momento justo en el sentido que se trata verdaderamente del modelo que el maestro esperaba para C; la acción didáctica ha funcionado y el estudiante se ha construido el modelo M correcto del concepto C.

2.       M se forma muy temprano, cuando aun representa solo una imagen que debería ser ulteriormente ampliada; en ese punto no es tan fácil lograr C porque la estabilidad de M es por sí misma un obstáculo.

La denominación obstáculo es un término intuitivo.

Tercer Caso: La Multiplicación aumenta y la División disminuye

1.       El estudiante ha verificado durante años que la operación de multiplicación “aumenta los valores”, es decir el producto de dos factores es mayor que ambos, por ejemplo:

3 X 4 = 12;            12 es más grande que 3 y que 4

12 X 5 = 60;          60 es más grande que 12 y que 5

2.       Las imágenes figurales de la multiplicación confirman también la consideración intuitiva, de que la figura total de 12 cosas es más grande que 3 cosas, consideradas 4 veces.

3.       Es evidente que una figura hecha de esta manera refuerza esa imagen del concepto creando una imagen que se convierte rápido, muy rápido, en estable transformándose en modelo. Pero después fatalmente llegara el día en el que se debe multiplicar ese 3 ya no por numero natural 4, sino por el 0.5 y entonces el modelo  (ahora ya formado) no funciona mas, y la supuesta regla general de3l aumento fracasa.

4.       En este punto asimilar la nueva situación para acomodar el modelo precedente a uno nuevo no es para nada fácil.

5.       Se crea por lo tanto la necesidad didáctica de no volver estable esa imagen para poderla después ampliar sucesivamente, en el intento de construir un modelo del concepto de multiplicación en modo optimo, que tome en cuenta las sucesivas ampliaciones a los números no naturales.

Cuando el maestro propone una imagen fuerte y convincente, que se convierte en persistente, confirmada por continuos ejemplos y experiencias, de un concepto C, la imagen se transforma en modelo intuitivo: en resumen, existe una correspondencia directa entre la situación propuesta y el concepto matemático que se está utilizando, pero este modelo podría no ser aun lo que se espera del concepto C al interior del saber matemático.

Es decir, se pueden formar modelos que terminan tener mucha fuerza de persuasión y mucha relevancia en las capacidades del estudiante: en otras palabras, son dominantes en el plano intuitivo gracias precisamente a esta correspondencia entre la situación descrita y las matemáticas utilizadas para hacerlo.

A veces también se habla de modelos parásitos; por ejemplo, habiendo aceptado el modelo intuitivo de multiplicación entre naturales visto anteriormente en una de sus representaciones esquemáticas, se forma un modelo parasito que se puede enunciar de la siguiente manera:

La multiplicación aumenta, el estudiante de diferentes niveles utiliza “multiplicar” como sinónimo de ”acrecentar, agrandar”.

Es decir toda operación aritmética  posee, además de su significado formal, también uno o más significados intuitivos. Los dos niveles pueden coincidir o no.

Cuarto Caso: Siempre se debe Dividir un número grande por uno pequeño

El estudiante ha dividido un número grande por uno pequeño. Es decir se ha hecho una imagen que el dividendo debe ser mayor que el divisor.

La división se propone desde las primeras veces de repartir muchos objetos entre pocas cosas del mismo tipo.

Supongamos un estudiante que ha logrado avanzar, se ha construido con trabajo, un modelo correcto de C, sin embargo el estudiante cae en la trampa tejida por su mismo modelo intuitivo, ya que durante las entrevistas el estudiante provoca una atención diferente, más consciente, y una puesta en causa de hechos cognitivos mas fuertes: en ese punto ya no es el modelo intuitivo el que domina la escena, sino el más refinado, el elaborado cognitivamente.

Precisamente la reacción de sorpresa y diversión del estudiante demuestra que el mismo no se dio cuenta del hecho de haber usado un modelo intuitivo en lugar de uno más elaborado.

Quinto Caso: Aún sobre la División

Problema 1: Una botella de naranjada, que contiene 0.75 litros, cuesta 2 dólares. Cuál es el precio de un litro.

Problema 2: Una botella de naranjada, que contiene 2 litros, cuesta 6 dólares. Cuál es el precio de un litro.

En principio se trata del mismo problema.

El segundo problema será resuelto de inmediato, a través de la división de 6 entre 2.

Resolver el primer problema con la análoga división 2 entre 0.75 crea fuerte resistencia.

No habría ningún titubeo para aplicar las reglas de las proposiciones y seguir los pasajes de un algoritmo, para realizar aparentemente la misma operación.

Ahora emerge una clausula del contrato didáctico, la de la delega formal, en un cierto sentido, no nos empeñamos ya directamente en el hacer ese pasaje, no es ya una cuestión de elección.

Solo estamos siguiendo un procedimiento que consiste en una serie de pasajes automáticos, para los cuales tuvimos consenso y encargo y para los cuales no debemos dar una justificación paso a paso.

Sexto Caso: Con Suma y Resta.

Problemas:

P. A.:      Alrededor de una mesa hay 4 muchachos y 7 muchachas. Cuantos hay en total.

P.B.:       Giovanni gasto 4 francos. El tiene ahora en la bolsa 7 francos. Cuantos francos tenía antes.

P.C.:       Roberto jugó dos partidos. En el primero perdió 4 puntos, pero al final del segundo partido se hallo con ventaja de 7 puntos. Que paso en el segundo partido.

Los tres problemas se resuelven con la misma operación, 4+7; pero tienen porcentajes de éxito increíblemente diferentes.

P. A.:      Resuelven bien los niños de 7 años alcanzando el 100%. Aquí existe perfecta coincidencia entre significado formal y significado intuitivo: la adición es la operación que resuelve problemas de unión entre colecciones  (carente de elementos comunes).

Pero casi ninguno de los mismos muchachos resuelve el P.B. y aquellos pocos que lo resuelven más o menos tratan de adivinar.

Existen dos datos a utilizar el 4 y el 7.

P. B.:      Se resuelva aunque con dificultad, en cuarto o quinto de primaria (de 9 a 10 años), digamos que, de cualquier manera, las soluciones correctas obtenidas con conciencia alcanzan un discreto porcentaje.

P.C.        Es la causa de un fracaso casi total. Incluso en el primer y segundo de secundaria (entre 11 a 12 años). Su resolución muestra porcentajes de resolución cercanos al 25%, o incluso menos.

En este caso se trata de sobre todo de dificultades de gestión “narrativa” del texto.

Este tipo de pruebas desde el punto de vista didáctico aplicativo, evidencia por lo menos que es falso aquel supuesto criterio de dificultad de la resolución de los problemas sobre la base del cual el aumentar del número de operaciones por realizar en la resolución es sinónimo de aumento de la dificultad.

Existen problemas que requieren operaciones fáciles para resolverlos.

Séptimo Caso: La sustracción

1.       La sustracción presenta al menos dos diferentes significados intuitivos, independientemente de su único significado formal, que se pueden evidenciar recurriendo aun a dos problemas:

a.       Si quitamos 7 bolitas de un conjunto de 10 bolitas, cuantas bolitas quedaran.

b.       Tengo 7 bolitas, pero necesito 10 para jugar. Cuantas bolitas debo agregar a las que ya tengo, para poder comenzar el juego.

2.       Es obvio que los dos problemas se resuelven con la sustracción 10 – 7.

En el primer caso, el de quitar es intuitivo, por hay coincidencia entre significado y formal y significado intuitivo.

En el Segundo caso, parece ser mas espontaneo el recurso a estrategias aditivas del tipo:

 7 + …. = 10, entendiéndose que esos puntitos valen 3.

3.       De otro lado es aditiva toda estrategia de “complemento a”, como el que atiende en la bodega, no hace la diferencia en primera instancia, sino que suma las entregas y efectúa la diferencia luego, para entregar el vuelto si hubiera.

4.       Existe por lo tanto varias respuestas incorrectas, en lugar de la sustracción, hay quien hace la adición 7 + 10 ó 10 + 7, ligada al hecho de que existe la palabra agregar que sugiere el uso de la adición.

5.       Existe un fuerte contraste entre la operación ingenua y espontanea de conteo que de hecho se usaría en una situación concreta: 7 + 1 + 1+ 1 , con la respuesta 3para llegar a 10.

6.       Si existiera una operación especifica que expresa el numero de esos +1, que permita pasar de 7 a 10, probablemente el porcentaje de éxito subiría notablemente.

7.       En realidad si existe esta operación y es la sustracción 10 – 7 = 3, pero las pruebas demuestran que no es este el camino in tuitivo que se sigue.

Dificultades de resolución de problemas verbales, debido a los siguientes factores:

a.       La estructura lógica, el tipo de operación requerida, la presencia eventual de informaciones superfluas.

b.       La componente semántica, las relaciones contextuales que intervienen en la estructura del problema, las sugerencias verbales insertadas en el problema.

c.       La componente sintáctica, las variables estructurales, es decir, número de palabra, posición de las partes componentes el problema.

Octavo Caso: El Cuadrado y el Rombo

1.       El rombo se presenta con las diagonales vertical y horizontal.

2.       El cuadrado se presenta con las diagonales oblicuas.

3.       El maestro presenta en una oportunidad el cuadrado con las diagonales vertical y horizontal, el estudiante preguntara si el maestro se equivoco.

4.       Sin embargo algunos de sus compañeros aceptan esta denominación.

5.       Se trata de un conflicto cognitivo, pero no solo en el plano individual “interno”, sino también en el plano social, porque pone al estudiante en conflicto con un modelo que consideraba compartido.

6.       Obviamente en la base de estos conflictos existen las misconcepciones, es decir concepciones no correctas, las cuales se encuentran a la espera de sistematización cognoscitiva más elaborada y critica.

7.       Es decir existe un error.

Corresponde al maestro darse cuenta que lo que el estudiante cree que es un modelo o un concepto correcto en realidad es una misconcepción.

No se trata solo de valorar negativamente al estudiante que se equivoca; se trata, en cambio, de dar los instrumentos necesarios para la elaboración crítica, sobre la problemática de los errores.

Podría pensarse que toda la fase escolar del estudiante pasa por la experiencia de misconcepciones a concepciones cada vez más elaboradas y vastas, hacia modelos correctos esperados y deseados por la actividad didáctica.

Estas fases corresponden a delicados momentos cognitivos necesarios de paso, de una primera concepción elemental, ingenua, primitiva, a una más elaborada y cercana a la correcta.

CONFLICTOS “INTERNOS” Y CONFLICTOS “SOCIOCOGNITIVOS”

El conflicto cognoscitivo es un conflicto “interno causado” por la no coincidencia entre dos conceptos, o entre dos imágenes o entre una imagen y un concepto, o entre un modelo intuitivo que no corresponde al modelo matemático mismo, con la complicación eventual del nacimiento de modelos parásitos.

Existe una lucha entre el deseo inconsciente de tener fija una imagen adquirida y nuevas informaciones sobre un concepto que ella no logra “encuadrar”.

La situación se complica aun mas cuando, objetivamente, hay más significados intuitivos que necesitan ser “traducidos” en un único significado formal.

Queda la posibilidad de que el conflicto sea también social no solamente cognitivo.

Supongamos que el estudiante tenga una imagen estable o un  modelo intuitivo o un modelo parasito, una misconcepción sobre un cierto argumento y que considere que se trata del compartido por todo el grupo, o porque no por toda la sociedad.

El modelo entra en conflicto a partir de la proposición del maestro o por una nueva situación y, es así que el estudiante se da cuenta que su modelo no es para nada compartido por sus compañeros o por el grupo.

El estudiante se encontrara aislado, el no aceptara las propuestas porque no se ajusta con el modelo.

FUNCIONES DE ORGANIZACIÓN Y DE ADAPTACIÓN

Tiene su importancia, en particular la función de adaptación habría reunido dos funciones la asimilación y el acondicionamiento.

1.       Organización

2.       Adaptación

2.1          Asimilación

2.2          Acondicionamiento

El estudiante observa objetos y eventos y los asimila a los esquemas de los que dispone, después modifica a los nuevos llegados a su mundo cognitivo, adaptándolos a los esquemas precedentes, es decir acomoda unos  con los otros.

En el momento en que la operación no se logre, demostrándose la inadecuación, entonces el estudiante debe modificar los esquemas de los cuales disponía, esta operación tendrá éxito si el conflicto cognitivo originado por esta no adecuación provoca bastantes motivaciones.

Nace un carácter relacional del conocimiento: es como si

1.      La asimilación fuese una operación dirigida hacia el interior inherente totalmente al sujeto que aprende.

2.       Mientras que el acomodamiento parece ser una operación hacia el exterior, dado que define al objeto de conocimiento.

Un individua progresa en el conocimiento cuando se realiza en el un conflicto entre dos representaciones bajo la presión del cual es empujado a reorganizar las concepciones precedentes para integrar las nuevas informaciones que una nueva situación comporta.

Lima-Perú, Domingo 29 Diciembre 2013

Max Osorio Povis