CONFLICTOS
MIS CONCEPCIONES, MODELOS INTUITIVOS Y MODELOS
Últimamente la
didáctica matemática se está refiriendo a temas como los conflictos, a las
mis concepciones y a modelos intuitivos.
Son efectivamente
tres temas muy relacionados entre ellos, que tienen relación con las imágenes
mentales y los modelos.
El estudiante en el
tiempo construye un concepto y se hace una imagen e este, constituyéndose estos
dos conceptos concepto e imagen como intuitivos, esta imagen se refuerza en la
etapa escolar a partir de:
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Pruebas
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Experiencias repetidas
-
Figuras
-
Ejercicios resueltos y aceptados como
correctos
Sin embargo esta
imagen en algún momento se revela inadecuada, con respecto al mismo concepto,
creyendo el estudiante que esta imagen era definitiva.
Esta situación genera
un conflicto entre la primera y la segunda imagen y el concepto, esto sucede
cuando la nueva imagen amplia los limites de aplicabilidad del concepto, o da
una versión más amplia.
La relación entre
imagen y concepto, puede generar en algún momento un conflicto, cuando aparece
otra imagen que refiere una versión ampliada, esta situación se presenta como
una misconcepción.
Por lo tanto una misconcepción
es un concepto errado, que sin embargo no debe verse como una situación
absoluta o negativa.
No se descarta que
para formar un concepto es necesario pasar por una misconcepción momentánea.
Primer Caso: Rectángulos y Irrectángulos en pie
1. Para
el estudiante de 6 a 7 años, siempre ha visto dibujado un rectángulo apoyado
sobre su lado más grande y con altura vertical el lado más corto.
Se
ha hecho una imagen del concepto “rectángulo” de esta manera y tal imagen ha
sido siempre confirmada por la experiencia; en muchos libros, tal y como se
presenta en las siguientes figuras:
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2. Un
día se le propone una imagen de rectángulo que tiene la base el lado menor,
siendo su altura el lado más grande, tal y como se presenta en las figuras:
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3.
El niño tuvo que adecuar el concepto
ya asumido, a la nueva imagen que se le presento, definiendo esta nueva forma
como “rectángulo en pie”.
4.
Se reconoce en esta presentación
espontanea del rectángulo que descansa sobre su lado menor, el resultado feliz
de un conflicto entre una misconcepcion, de aquella imagen que parecía estable
y aprendida del “rectángulo”, pero que sin embargo aun se encontraba en proceso
de sistematización.
5.
El estudiante tenia formado una
imagen intuitiva, pero que gracias a la adecuación didáctica con la nueva
presentación del rectángulo, se genera un conflicto, ampliando su experiencia.
Segundo
Caso: El Cuadrado es Rectángulo
1. El
estudiante ha visto siempre imágenes de rectángulos con lados, de longitud
diferente, habiendo asumido una imagen prototipo del rectángulo una figura que
debe tener base y altura de diferente longitud.
2.
Un día el maestro analiza más a
fondo la definición de rectángulo, a partir del paralelogramo, definiendo que
para el caso del rectángulo sus cuatro ángulos internos son todos deben ser
todos rectos y por lo tanto no excluye al cuadrado.
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3.
Nace así un conflicto cognitivo,
entre la vieja imagen del rectángulo, que excluía al cuadrado y la nueva imagen
propuesta.
4.
Sólo ahora se puede afirmar que el
concepto precedente, que se pensaba, definitivo y correcto, constituía una
misconcepcion, que ha sido superada por una nueva situación.
El
estudiante por lo tanto busca que poner orden entre la “definición” verbal y la
“figural”.
El estudiante se
construye una imagen de un concepto C, él la cree estable, definitiva. Pero a
un cierto punto de su historia cognitiva, recibe informaciones de C no contempladas
en la imagen que tenia, debe entonces adecuar la vieja imagen a una nueva, más
amplia que no solo conserve las precedentes informaciones, sino que acoja
también a las nuevas. La nueva imagen es una conquista cultural, una nueva
construcción más potente, más “cercana” al
concepto C.
Muchos de los
conceptos de la matemática se alcanzan gracias a pasajes, en los meses o en los
años, de una imagen a otra más….potente y se puede ver esta sucesión de construcciones conceptuales como una
especie de encumbramiento, de acercamiento a C.
Durante esta sucesión
de imágenes, existe un momento en el cual la primera imagen, se demuestra
bastante fuerte, para incluir todas las argumentaciones e informaciones nuevas
con respecto al concepto C que representa.
Las nuevas solicitudes, en lugar de obligar a destruir una imagen
para construir una nueva, terminan por confirmar la bondad de la primera
figura, sea una imagen justa, correcta, definitiva de C.
Por lo tanto el
Modelo de un Concepto seria, entre las imágenes la definitiva, la que engloba
el máximo de las informaciones y que se demuestra estable con respecto a un
buen número de solicitudes ulteriores.
Existen dos posibilidades:
1. M
se forma en el momento justo en el sentido que se trata verdaderamente del
modelo que el maestro esperaba para C; la acción didáctica ha funcionado y el
estudiante se ha construido el modelo M correcto del concepto C.
2.
M se forma muy temprano, cuando aun
representa solo una imagen que debería ser ulteriormente ampliada; en ese punto
no es tan fácil lograr C porque la estabilidad de M es por sí misma un obstáculo.
La denominación
obstáculo es un término intuitivo.
Tercer Caso: La Multiplicación aumenta y la División disminuye
1.
El estudiante ha verificado durante
años que la operación de multiplicación “aumenta
los valores”, es decir el producto de dos factores es mayor que ambos, por
ejemplo:
3
X 4 = 12; 12 es más grande que
3 y que 4
12
X 5 = 60; 60 es más grande que 12
y que 5
2.
Las imágenes figurales de la
multiplicación confirman también la consideración intuitiva, de que la figura
total de 12 cosas es más grande que 3 cosas, consideradas 4 veces.
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3.
Es evidente que una figura hecha de
esta manera refuerza esa imagen del concepto creando una imagen que se
convierte rápido, muy rápido, en estable transformándose en modelo. Pero
después fatalmente llegara el día en el que se debe multiplicar ese 3 ya no por
numero natural 4, sino por el 0.5 y entonces el modelo (ahora ya formado) no funciona mas, y la
supuesta regla general de3l aumento fracasa.
4.
En este punto asimilar la nueva
situación para acomodar el modelo precedente a uno nuevo no es para nada fácil.
5.
Se crea por lo tanto la necesidad
didáctica de no volver estable esa imagen para poderla después ampliar
sucesivamente, en el intento de construir un modelo del concepto de
multiplicación en modo optimo, que tome en cuenta las sucesivas ampliaciones a
los números no naturales.
Cuando el maestro
propone una imagen fuerte y convincente, que se convierte en persistente,
confirmada por continuos ejemplos y experiencias, de un concepto C, la imagen
se transforma en modelo intuitivo: en resumen, existe una correspondencia
directa entre la situación propuesta y el concepto matemático que se está
utilizando, pero este modelo podría no ser aun lo que se espera del concepto C
al interior del saber matemático.
Es decir, se pueden
formar modelos que terminan tener mucha fuerza de persuasión y mucha relevancia
en las capacidades del estudiante: en otras palabras, son dominantes en el
plano intuitivo gracias precisamente a esta correspondencia entre la situación
descrita y las matemáticas utilizadas para hacerlo.
A veces también se
habla de modelos parásitos; por ejemplo, habiendo aceptado el modelo intuitivo
de multiplicación entre naturales visto anteriormente en una de sus
representaciones esquemáticas, se forma un modelo parasito que se puede
enunciar de la siguiente manera:
La multiplicación
aumenta, el estudiante de diferentes niveles utiliza “multiplicar” como
sinónimo de ”acrecentar, agrandar”.
Es decir toda
operación aritmética posee, además de su
significado formal, también uno o más significados intuitivos. Los dos niveles
pueden coincidir o no.
Cuarto Caso: Siempre se debe Dividir un número grande por uno
pequeño
El estudiante ha
dividido un número grande por uno pequeño. Es decir se ha hecho una imagen que
el dividendo debe ser mayor que el divisor.
La división se
propone desde las primeras veces de repartir muchos objetos entre pocas cosas
del mismo tipo.
Supongamos un
estudiante que ha logrado avanzar, se ha construido con trabajo, un modelo
correcto de C, sin embargo el estudiante cae en la trampa tejida por su mismo
modelo intuitivo, ya que durante las entrevistas el estudiante provoca una
atención diferente, más consciente, y una puesta en causa de hechos cognitivos
mas fuertes: en ese punto ya no es el modelo intuitivo el que domina la escena,
sino el más refinado, el elaborado cognitivamente.
Precisamente la
reacción de sorpresa y diversión del estudiante demuestra que el mismo no se
dio cuenta del hecho de haber usado un modelo intuitivo en lugar de uno más
elaborado.
Quinto Caso: Aún sobre la División
Problema 1: Una
botella de naranjada, que contiene 0.75 litros, cuesta 2 dólares. Cuál es el
precio de un litro.
Problema 2: Una
botella de naranjada, que contiene 2 litros, cuesta 6 dólares. Cuál es el
precio de un litro.
En principio se trata
del mismo problema.
El segundo problema
será resuelto de inmediato, a través de la división de 6 entre 2.
Resolver el primer
problema con la análoga división 2 entre 0.75 crea fuerte resistencia.
No habría ningún
titubeo para aplicar las reglas de las proposiciones y seguir los pasajes de un
algoritmo, para realizar aparentemente la misma operación.
Ahora emerge una
clausula del contrato didáctico, la de la delega formal, en un cierto sentido,
no nos empeñamos ya directamente en el hacer ese pasaje, no es ya una cuestión
de elección.
Solo estamos
siguiendo un procedimiento que consiste en una serie de pasajes automáticos,
para los cuales tuvimos consenso y encargo y para los cuales no debemos dar una
justificación paso a paso.
Sexto Caso: Con Suma y Resta.
Problemas:
P.
A.: Alrededor
de una mesa hay 4 muchachos y 7 muchachas. Cuantos hay en total.
P.B.:
Giovanni gasto 4 francos. El tiene
ahora en la bolsa 7 francos. Cuantos francos tenía antes.
P.C.:
Roberto jugó dos partidos. En el
primero perdió 4 puntos, pero al final del segundo partido se hallo con ventaja
de 7 puntos. Que paso en el segundo partido.
Los tres problemas se
resuelven con la misma operación, 4+7; pero tienen porcentajes de éxito
increíblemente diferentes.
P.
A.: Resuelven
bien los niños de 7 años alcanzando el 100%. Aquí existe perfecta coincidencia
entre significado formal y significado intuitivo: la adición es la operación
que resuelve problemas de unión entre colecciones (carente de elementos comunes).
Pero
casi ninguno de los mismos muchachos resuelve el P.B. y aquellos pocos que lo
resuelven más o menos tratan de adivinar.
Existen
dos datos a utilizar el 4 y el 7.
P.
B.: Se
resuelva aunque con dificultad, en cuarto o quinto de primaria (de 9 a 10
años), digamos que, de cualquier manera, las soluciones correctas obtenidas con
conciencia alcanzan un discreto porcentaje.
P.C.
Es la causa de un fracaso casi
total. Incluso en el primer y segundo de secundaria (entre 11 a 12 años). Su
resolución muestra porcentajes de resolución cercanos al 25%, o incluso menos.
En
este caso se trata de sobre todo de dificultades de gestión “narrativa” del
texto.
Este tipo de pruebas
desde el punto de vista didáctico aplicativo, evidencia por lo menos que es
falso aquel supuesto criterio de dificultad de la resolución de los problemas
sobre la base del cual el aumentar del número de operaciones por realizar en la
resolución es sinónimo de aumento de la dificultad.
Existen problemas que
requieren operaciones fáciles para resolverlos.
Séptimo Caso: La sustracción
1. La
sustracción presenta al menos dos diferentes significados intuitivos, independientemente
de su único significado formal, que se pueden evidenciar recurriendo aun a dos
problemas:
a.
Si quitamos 7 bolitas de un conjunto
de 10 bolitas, cuantas bolitas quedaran.
b.
Tengo 7 bolitas, pero necesito 10
para jugar. Cuantas bolitas debo agregar a las que ya tengo, para poder
comenzar el juego.
2.
Es obvio que los dos problemas se
resuelven con la sustracción 10 – 7.
En
el primer caso, el de quitar es intuitivo, por hay coincidencia entre
significado y formal y significado intuitivo.
En
el Segundo caso, parece ser mas espontaneo el recurso a estrategias aditivas
del tipo:
7 + …. = 10, entendiéndose que esos puntitos
valen 3.
3.
De otro lado es aditiva toda
estrategia de “complemento a”, como el que atiende en la bodega, no hace la diferencia
en primera instancia, sino que suma las entregas y efectúa la diferencia luego,
para entregar el vuelto si hubiera.
4.
Existe por lo tanto varias
respuestas incorrectas, en lugar de la sustracción, hay quien hace la adición 7
+ 10 ó 10 + 7, ligada al hecho de que existe la palabra agregar que sugiere el
uso de la adición.
5.
Existe
un fuerte contraste entre la operación ingenua y espontanea de conteo que de
hecho se usaría en una situación concreta: 7 + 1 + 1+ 1 , con la respuesta
3para llegar a 10.
6.
Si existiera una operación
especifica que expresa el numero de esos +1, que permita pasar de 7 a 10,
probablemente el porcentaje de éxito subiría notablemente.
7.
En realidad si existe esta operación
y es la sustracción 10 – 7 = 3, pero las pruebas demuestran que no es este el
camino in tuitivo que se sigue.
Dificultades
de resolución de problemas verbales, debido a los siguientes factores:
a.
La
estructura lógica, el tipo de operación requerida, la presencia eventual de
informaciones superfluas.
b.
La componente semántica, las
relaciones contextuales que intervienen en la estructura del problema, las
sugerencias verbales insertadas en el problema.
c.
La componente sintáctica, las
variables estructurales, es decir, número de palabra, posición de las partes
componentes el problema.
Octavo Caso: El Cuadrado y el Rombo
1. El
rombo se presenta con las diagonales vertical y horizontal.
2.
El cuadrado se presenta con las
diagonales oblicuas.
3.
El maestro presenta en una
oportunidad el cuadrado con las diagonales vertical y horizontal, el estudiante
preguntara si el maestro se equivoco.
4.
Sin embargo algunos de sus
compañeros aceptan esta denominación.
5.
Se trata de un conflicto cognitivo,
pero no solo en el plano individual “interno”, sino también en el plano social,
porque pone al estudiante en conflicto con un modelo que consideraba
compartido.
6.
Obviamente en la base de estos
conflictos existen las misconcepciones, es decir concepciones no correctas, las
cuales se encuentran a la espera de sistematización cognoscitiva más elaborada
y critica.
7.
Es decir existe un error.
Corresponde al
maestro darse cuenta que lo que el estudiante cree que es un modelo o un
concepto correcto en realidad es una misconcepción.
No se trata solo de
valorar negativamente al estudiante que se equivoca; se trata, en cambio, de
dar los instrumentos necesarios para la elaboración crítica, sobre la
problemática de los errores.
Podría pensarse que
toda la fase escolar del estudiante pasa por la experiencia de misconcepciones
a concepciones cada vez más elaboradas y vastas, hacia modelos correctos
esperados y deseados por la actividad didáctica.
Estas fases
corresponden a delicados momentos cognitivos necesarios de paso, de una primera
concepción elemental, ingenua, primitiva, a una más elaborada y cercana a la
correcta.
CONFLICTOS “INTERNOS” Y CONFLICTOS “SOCIOCOGNITIVOS”
El conflicto
cognoscitivo es un conflicto “interno causado” por la no coincidencia entre dos
conceptos, o entre dos imágenes o entre una imagen y un concepto, o entre un
modelo intuitivo que no corresponde al modelo matemático mismo, con la
complicación eventual del nacimiento de modelos parásitos.
Existe una lucha
entre el deseo inconsciente de tener fija una imagen adquirida y nuevas
informaciones sobre un concepto que ella no logra “encuadrar”.
La situación se
complica aun mas cuando, objetivamente, hay más significados intuitivos que
necesitan ser “traducidos” en un único significado formal.
Queda la posibilidad
de que el conflicto sea también social no solamente cognitivo.
Supongamos que el
estudiante tenga una imagen estable o un
modelo intuitivo o un modelo parasito, una misconcepción sobre un cierto
argumento y que considere que se trata del compartido por todo el grupo, o
porque no por toda la sociedad.
El modelo entra en
conflicto a partir de la proposición del maestro o por una nueva situación y,
es así que el estudiante se da cuenta que su modelo no es para nada compartido
por sus compañeros o por el grupo.
El estudiante se
encontrara aislado, el no aceptara las propuestas porque no se ajusta con el
modelo.
FUNCIONES DE ORGANIZACIÓN Y DE
Tiene su importancia,
en particular la función de adaptación habría reunido dos funciones la
asimilación y el acondicionamiento.
1. Organización
2. Adaptación
2.1 Asimilación
2.2 Acondicionamiento
El estudiante observa
objetos y eventos y los asimila a los esquemas de los que dispone, después
modifica a los nuevos llegados a su mundo cognitivo, adaptándolos a los
esquemas precedentes, es decir acomoda unos
con los otros.
En el momento en que
la operación no se logre, demostrándose la inadecuación, entonces el estudiante
debe modificar los esquemas de los cuales disponía, esta operación tendrá éxito
si el conflicto cognitivo originado por esta no adecuación provoca bastantes
motivaciones.
Nace un carácter
relacional del conocimiento: es como si
1.
La asimilación fuese una operación
dirigida hacia el interior inherente totalmente al sujeto que aprende.
2.
Mientras que el acomodamiento parece
ser una operación hacia el exterior, dado que define al objeto de conocimiento.
Un individua progresa
en el conocimiento cuando se realiza en el un conflicto entre dos
representaciones bajo la presión del cual es empujado a reorganizar las
concepciones precedentes para integrar las nuevas informaciones que una nueva
situación comporta.
Lima-Perú,
Domingo 29 Diciembre 2013
Max
Osorio Povis
